Không gian con (Subspace) và ví dụ

by Kurious Fox

Không gian con là một tập con của không gian vector, và bản thân nó cũng là một không gian vector với các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa giống như trong không gian vector gốc. Điều này có nghĩa là mọi đặc điểm và tính chất của không gian vector ban đầu vẫn được bảo toàn trong không gian con, cho phép chúng ta áp dụng các lý thuyết và phương pháp toán học đã được phát triển cho không gian vector gốc.

Hơn nữa, không gian con cung cấp một cách tiếp cận mạnh mẽ để nghiên cứu các vấn đề liên quan đến hình học và đại số, mở ra nhiều khả năng ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính.

Định nghĩa:

Một tập con W \subseteq V là không gian con nếu:

  1. Chứa vector không: Vector không của V phải thuộc W .
  2. Đóng dưới phép cộng: Nếu u, v \in W , thì u + v \in W .
  3. Đóng dưới phép nhân vô hướng: Nếu v \in W và c \in F , thì c \cdot v \in W .

Ví dụ:

Dưới đây là một số ví dụ minh họa về không gian con:

Ví dụ 1: Không gian con của \mathbb{R}^3

Xét không gian vector \mathbb{R}^3 , tập hợp tất cả các vector có dạng (x, y, z) .

Một tập con W của \mathbb{R}^3 được định nghĩa là:
W = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0}.

Ta kiểm tra W có phải là không gian con không:

✅ Chứa vector không:
Vector \mathbf{0} = (0, 0, 0) thuộc W , vì:
0 + 0 + 0 = 0 .

✅ Đóng dưới phép cộng:
Nếu \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1) \in W và \mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2) \in W , thì:
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2).
Vì:
(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2) = 0 ,
nên \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W .

✅ Đóng dưới phép nhân vô hướng:
Nếu \mathbf{u} = (x, y, z) \in W và c \in \mathbb{R} , thì:
c \mathbf{u} = (c x, c y, c z),
và:
c x + c y + c z = c (x + y + z) = c \cdot 0 = 0 ,
nên c \mathbf{u} \in W .

➡ Kết luận: W là không gian con của \mathbb{R}^3 .

Ví dụ 2: Không gian con của \mathbb{R}^2

Xét không gian vector \mathbb{R}^2 , tập hợp tất cả các vector có dạng (x, y) .

Một tập con W được định nghĩa là:
W = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x}.

✅ Chứa vector không:
Vector \mathbf{0} = (0, 0) thuộc W , vì:
0 = 2 \cdot 0 .

✅ Đóng dưới phép cộng:
Nếu \mathbf{u} = (x_1, y_1) \in W và \mathbf{v} = (x_2, y_2) \in W , thì:
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2).
Vì y_1 = 2x_1 và y_2 = 2x_2 , ta có:
y_1 + y_2 = 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2).
Nên \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W .

✅ Đóng dưới phép nhân vô hướng:
Nếu \mathbf{u} = (x, y) \in W và c \in \mathbb{R} , thì:
c \mathbf{u} = (c x, c y),
và c y = c (2x) = 2 (c x) ,
nên c \mathbf{u} \in W .

➡ Kết luận: W là không gian con của \mathbb{R}^2 .

Mối quan hệ giữa cơ sở, số chiều và không gian con

  • Số chiều của không gian con: Số chiều của một không gian con W là số vector trong cơ sở của W .
  • Cơ sở của không gian con: Mỗi không gian con có một cơ sở riêng, và số lượng vector trong cơ sở bằng với số chiều của không gian con đó.
  • Số chiều của không gian lớn: Nếu W là không gian con của V , thì:
    \text{dim}(W) \leq \text{dim}(V) .

Discover more from Science Comics

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Related Posts

Leave a Reply

error: Content is protected !!