Ma trận đổi cơ sở

Phép biến đổi thay đổi tọa độ hoặc ánh xạ các vector từ không gian vector này sang không gian vector khác, thường được mô tả bằng một ma trận, gọi là ma trận đổi cơ sở.

📌 Vai trò của phép biến đổi:

Không chỉ giúp thay đổi tọa độ hoặc ánh xạ vector giữa các không gian, mà còn giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các vector và cách chúng tương tác trong không gian nhiều chiều.
Thông thường, quá trình này được mô tả bằng ma trận, trong đó mỗi phần tử phản ánh sự tương tác giữa các vector, cho phép ta thực hiện các phép toán phức tạp hơn như xoay, nén hoặc mở rộng không gian.
Khi áp dụng phép biến đổi, ta có thể quan sát sự thay đổi của hình dạng, kích thước và hướng của vector, giúp rút ra các kết luận hữu ích trong nhiều lĩnh vực như vật lý, đồ họa máy tính và học máy.

Thay đổi cơ sở

📌 Để biến đổi một vector $v$ từ cơ sở $B$ sang cơ sở $C$ :

✅ Biểu diễn $v$ theo cơ sở $B$ :
$v_B$ .

✅ Sử dụng ma trận chuyển tiếp $P_{B \to C}$ :
$v_C = P_{B \to C} v_B$

✅ Nếu $B = {b_1, b_2, \dots}$ và $C = {c_1, c_2, \dots}$ ,
thì các cột của $P_{B \to C}$ chính là tọa độ của $c_i$ trong cơ sở $B$ .

Ví dụ minh họa cách đổi cơ sở trong không gian vector

Ví dụ 1: Đổi cơ sở trong $\mathbb{R}^2$

📌 Giả sử:
✅ Cơ sở ban đầu $B = {b_1, b_2} = {[1, 0]^T, [0, 1]^T}$ (cơ sở chuẩn trong $\mathbb{R}^2$ ).
✅ Cơ sở mới $C = {c_1, c_2} = {[1, 1]^T, [1, -1]^T}$ .

📌 Các bước thực hiện:

✅ 1. Vector $v$ trong cơ sở chuẩn:
Cho vector $v_B = [2, 3]^T$ .
$v = 2b_1 + 3b_2 = [2, 3]^T$

✅ 2. Ma trận đổi cơ sở $P_{B \to C}$ :
Biểu diễn $c_1$ và $c_2$ theo cơ sở chuẩn:
$c_1 = [1, 1]^T, \quad c_2 = [1, -1]^T$
Ghép các vector $c_1$ và $c_2$ thành ma trận:
$P_{B \to C} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & -1\end{bmatrix}$

✅ 3. Tìm tọa độ của $v$ trong cơ sở mới $C$ :
$v_C = P_{B \to C}^{-1} v_B$

💡 Tính nghịch đảo của $P_{B \to C}$ :
$P_{B \to C}^{-1} = \frac{1}{\det(P_{B \to C})} \begin{bmatrix}-1 & -1 \\-1 & 1\end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix}-1 & -1 \\-1 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.5 & 0.5 \\0.5 & -0.5\end{bmatrix}$

💡 Tính:
$v_C = \begin{bmatrix}0.5 & 0.5 \\0.5 & -0.5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 \\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2.5 \-0.5\end{bmatrix}$

✅ Kết luận:
Vector $v$ trong cơ sở mới $C$ là:
$v_C = [2.5, -0.5]^T$

Ví dụ 2: Đổi cơ sở với ma trận quay

📌 Giả sử cơ sở chuẩn $B = {b_1, b_2} = {[1, 0]^T, [0, 1]^T}$ được quay 45° ngược chiều kim đồng hồ để tạo thành cơ sở mới $C$ .

✅ 1. Cơ sở mới:
$c_1 = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) \ \sin(45^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

$c_2 = \begin{bmatrix} -\sin(45^\circ) \ \cos(45^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

✅ 2. Ma trận đổi cơ sở:
$P_{B \to C} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

✅ 3. Chuyển đổi vector $v_B = [1, 0]^T$ sang cơ sở $C$ :
$v_C = P_{B \to C}^{-1} v_B$

💡 Vì $P_{B \to C}$ là ma trận trực giao ( $P_{B \to C}^{-1} = P_{B \to C}^T$ ), ta có:
$v_C = P_{B \to C}^T v_B = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

✅ Kết luận:
Trong cơ sở mới $C$ , vector $v_C = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$ .

Discover more from Science Comics

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Thay đổi cơ sở