Chỉnh Hợp: Cách Tính và Ví Dụ

Chỉnh hợp là một cách chọn ra một số hữu hạn phần tử từ một tập hợp cho trước và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Điểm khác biệt quan trọng giữa chỉnh hợp và tổ hợp là chỉnh hợp quan tâm đến thứ tự sắp xếp, còn tổ hợp thì không.

Số lượng chỉnh hợp:

Số các chỉnh hợp chập của phần tử được ký hiệu là , , hoặc đôi khi là . Công thức tính số chỉnh hợp là:

Trong đó là n giai thừa ($n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$), là (n-k) giai thừa.

Ví dụ 1: Mã màu đánh dấu đường đi

Một nhóm thám hiểm sa mạc sử dụng 3 màu sơn khác nhau (đỏ, xanh, vàng) để tạo ra các vạch dấu đường đi. Mỗi vạch dấu bao gồm 2 màu sơn khác nhau được vẽ theo một thứ tự (ví dụ: đỏ rồi xanh khác với xanh rồi đỏ). Hỏi có bao nhiêu vạch dấu khác nhau có thể tạo ra?

Phân tích: Chúng ta có 3 màu sơn và cần chọn ra 2 màu để vẽ theo một thứ tự. Đây là chỉnh hợp chập 2 của 3.
Áp dụng công thức: Số vạch dấu là .
Kết luận: Có 6 vạch dấu khác nhau có thể tạo ra (Đỏ-Xanh, Xanh-Đỏ, Đỏ-Vàng, Vàng-Đỏ, Xanh-Vàng, Vàng-Xanh).

Ví dụ 2: Chọn đường đi qua các ốc đảo

Một người du mục muốn đi qua 4 ốc đảo khác nhau trong sa mạc. Anh ta muốn chọn ra một lộ trình đi qua 2 trong số 4 ốc đảo này theo một thứ tự nhất định (ốc đảo nào đến trước, ốc đảo nào đến sau). Hỏi có bao nhiêu lộ trình khác nhau mà anh ta có thể chọn?

Phân tích: Chúng ta có 4 ốc đảo và cần chọn ra 2 ốc đảo để đi theo một thứ tự cụ thể. Đây là chỉnh hợp chập 2 của 4.
Áp dụng công thức: Số lộ trình là .
Kết luận: Có 12 lộ trình khác nhau mà người du mục có thể chọn.

Ví dụ 3: Sắp xếp các loại cây xương rồng quý hiếm

Một nhà thực vật học tìm thấy 5 loại xương rồng quý hiếm khác nhau trong sa mạc và muốn sắp xếp 2 trong số chúng theo một hàng để chụp ảnh (thứ tự chụp quan trọng). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để chụp ảnh?

Phân tích: Chúng ta có 5 loại xương rồng và muốn chọn ra 2 loại để sắp xếp theo thứ tự. Đây là chỉnh hợp chập 2 của 5.
Áp dụng công thức: Số cách sắp xếp là .
Kết luận: Có 20 cách sắp xếp khác nhau để chụp ảnh 2 trong số 5 loại xương rồng.