truyện tranh: biến cố độc lập: xác suất ngủ ngáy cùng nhau

by Kurious Fox

Trong lý thuyết xác suất, hai biến cố được gọi là độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Nói một cách đơn giản, chúng không có mối liên hệ nhân quả hoặc thống kê trực tiếp với nhau.

Định nghĩa toán học:

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu và chỉ nếu xác suất giao của chúng bằng tích xác suất của từng biến cố:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Mở rộng cho nhiều hơn hai biến cố, các biến cố A_1, A_2, \ldots, A_n được gọi là độc lập nếu và chỉ nếu đối với mọi tập con các chỉ số I \subseteq {1, 2, \ldots, n}, ta có:

P\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) = \prod_{i \in I} P(A_i)

Ngủ ngáy cùng nhau

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tung đồng xu và gieo xúc xắc

Xét hai thí nghiệm độc lập:

  • Thí nghiệm 1: Tung một đồng xu cân đối. Các kết quả có thể là Mặt Ngửa (N) hoặc Mặt Sấp (S), với P(N) = 0.5 và P(S) = 0.5.
  • Thí nghiệm 2: Gieo một con xúc xắc cân đối. Các kết quả có thể là {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mỗi kết quả có xác suất \frac{1}{6}.

Gọi A là biến cố “đồng xu xuất hiện mặt ngửa” và B là biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt 3”.

Xác suất của biến cố A là P(A) = P(N) = 0.5.
Xác suất của biến cố B là P(B) = P(3) = \frac{1}{6}.

Biến cố giao A \cap B là biến cố “đồng xu xuất hiện mặt ngửa và xúc xắc xuất hiện mặt 3″. Vì hai thí nghiệm này độc lập, xác suất của biến cố giao là:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.5 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} latex

Kết quả này cho thấy sự xảy ra của mặt ngửa trên đồng xu không ảnh hưởng đến khả năng xuất hiện mặt 3 trên xúc xắc, và ngược lại.

Ví dụ 2: Hai lần tung đồng xu

Tung một đồng xu cân đối hai lần liên tiếp.

  • Gọi E_1 là biến cố “lần tung đầu tiên được mặt ngửa”. P(E_1) = 0.5.
  • Gọi E_2 là biến cố “lần tung thứ hai được mặt ngửa”. P(E_2) = 0.5.

Vì kết quả của lần tung đầu tiên không ảnh hưởng đến kết quả của lần tung thứ hai, hai biến cố này độc lập. Xác suất để cả hai lần đều được mặt ngửa là:

P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2) = 0.5 \times 0.5 = 0.25

Ví dụ không độc lập:

Xét việc rút hai lá bài liên tiếp từ một bộ bài tiêu chuẩn 52 lá mà không hoàn lại lá bài đầu tiên.

  • Gọi F_1 là biến cố “lá bài đầu tiên rút được là lá Át”. P(F_1) = \frac{4}{52}.
  • Gọi F_2 là biến cố “lá bài thứ hai rút được là lá Át”.

Xác suất của F_2 phụ thuộc vào kết quả của F_1.

  • Nếu lá bài đầu tiên là Át, thì chỉ còn lại 3 lá Át trong 51 lá bài. Vậy P(F_2 | F_1) = \frac{3}{51}.
  • Nếu lá bài đầu tiên không phải là Át, thì vẫn còn 4 lá Át trong 51 lá bài. Vậy P(F_2 | F_1^c) = \frac{4}{51}.

Vì P(F_2 | F_1) \neq P(F_2), hai biến cố F_1 và F_2 không độc lập.

Discover more from Science Comics

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Related Posts

Leave a Reply

error: Content is protected !!