Ma Trận Hessian: Định Nghĩa và Ví Dụ Thực Tế

Ma trận Hess (Hessian matrix) là một công cụ toán học quan trọng trong giải tích và tối ưu hóa. Nó là một ma trận vuông chứa các đạo hàm bậc hai của một hàm số thực, giúp xác định tính chất của hàm số như tính khả vi, cực trị và độ cong tại các điểm khác nhau. Việc sử dụng ma trận Hess cho phép các nhà toán học và nhà khoa học đánh giá nhanh chóng những đặc điểm này, từ đó đưa ra các quyết định trong các vấn đề tối ưu hóa phức tạp, chẳng hạn như trong các bài toán tối ưu hóa đa biến hay trong các ứng dụng thực tiễn như trong lĩnh vực kinh tế, vật lý và học máy.

Trong tối ưu hóa, ma trận Hessian giúp xác định loại điểm tới hạn (cực tiểu, cực đại, điểm yên ngựa) bằng cách cung cấp thông tin về tính chất cong của hàm tại các điểm đó, từ đó hỗ trợ trong việc tìm kiếm và phân tích các điểm tối ưu trong không gian đa chiều.

Định nghĩa

giả sử $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ là một hàm khả vi hai lần liên tục, thì ma trận Hessian của $f$ được định nghĩa là:
$H(f)(x) = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}.$

Trong đó:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ là đạo hàm bậc hai của $f$ theo biến $x_i$ và $x_j$ .

Ví dụ

Xét hàm $f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2$ . Ta tính ma trận Hessian:
$H(f)(x, y) = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{bmatrix}.$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$ , $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$ , $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 3$ .
$H(f)(x, y) = \begin{bmatrix}2 & 3 \\3 & 2\end{bmatrix}.$

Ví dụ

Cho hàm $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$ .

Tính các đạo hàm bậc hai:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2x + y) = 2$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(x + 2y) = 2$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y) = 1$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x + y) = 1$ .

Ma trận Hessian:
$H(f)(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$

Cho hàm $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 3xz + yz$ . Tính ma trận Hessian.

Tính các đạo hàm bậc hai:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2x + 2y + 3z) = 2$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2y + 2x + z) = 2$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}(2z + 3x + y) = 2$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 2y + 3z) = 2$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2x + 2y + 3z) = 3$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2y + 2x + z) = 1$ .

Ma trận Hessian:
$H(f)(x, y, z) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}.$

Cho hàm $f(x, y) = e^{x+y} + x^2y$ .

Tính các đạo hàm bậc hai:

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x+y} + 2xy$ ,
$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x+y} + x^2$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+y} + 2xy) = e^{x+y} + 2y$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+y} + x^2) = e^{x+y}$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+y} + 2xy) = e^{x+y} + 2x$ .

Cho hàm $f(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz$ . Tính ma trận Hessian.

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 6z$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3xz) = 3z$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3xy) = 3y$ ,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3xy) = 3x$ .

$H(f)(x, y, z) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6x & 3z & 3y \\ 3z & 6y & 3x \\ 3y & 3x & 6z \end{bmatrix}.$

Discover more from Science Comics

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Ma Trận Hessian: Định Nghĩa và Ví Dụ Thực Tế

Định nghĩa

Ví dụ

Ví dụ

Like this:

Related

Discover more from Science Comics

Like this:

Like this:

Leave a ReplyCancel reply

Định nghĩa

Ví dụ

Ví dụ

Share this:

Like this:

Related

Discover more from Science Comics

Related Posts

Share this:

Like this:

Share this:

Like this:

Leave a ReplyCancel reply