Không gian Vector và ví dụ

by Kurious Fox

Định nghĩa không gian vector

Không gian vector (hay không gian tuyến tính) là một tập hợp các đối tượng (gọi là vector) cùng với hai phép toán cơ bản:

  1. Phép cộng vector: Kết hợp hai vector để tạo ra một vector khác.
  2. Phép nhân vô hướng: Nhân một vector với một số (gọi là vô hướng) từ một trường F , chẳng hạn như trường số thực \mathbb{R} hoặc trường số phức \mathbb{C} .

💡 Một không gian vector phải thỏa mãn tám tính chất sau:

✅ Phép cộng là giao hoán:
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}, \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V

✅ Phép cộng là kết hợp:
(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}), \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V

✅ Tồn tại phần tử không (vector không):
Có một vector không \mathbf{0} \in V sao cho:
\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}, \quad \forall \mathbf{u} \in V

✅ Tồn tại phần tử đối của mỗi vector:
Mỗi vector \mathbf{u} \in V đều có một vector đối -\mathbf{u} \in V sao cho:
\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}

✅ Phép nhân vô hướng là phân phối đối với phép cộng vector:
\alpha(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \alpha \mathbf{u} + \alpha \mathbf{v}, \quad \forall \alpha \in F, \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V

✅ Phép nhân vô hướng là phân phối đối với phép cộng vô hướng:
(\alpha + \beta)\mathbf{u} = \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{u}, \quad \forall \alpha, \beta \in F, \mathbf{u} \in V

✅ Tính kết hợp của phép nhân vô hướng:
\alpha(\beta \mathbf{u}) = (\alpha \beta) \mathbf{u}, \quad \forall \alpha, \beta \in F, \mathbf{u} \in V

✅ Tồn tại phần tử đơn vị trong phép nhân vô hướng:
1 \mathbf{u} = \mathbf{u}, \quad \forall \mathbf{u} \in V
Trong đó, 1 là phần tử đơn vị của trường F .

📌 Lưu ý: Trong bài viết này, F ám chỉ một trường bất kỳ, chẳng hạn như trường số thực \mathbb{R} hoặc trường số phức \mathbb{C} .

Các loại không gian vector

1. Không gian tầm thường (Không gian {0} )

💡 Ví dụ đơn giản nhất về không gian vector là không gian tầm thường, còn gọi là không gian {0} .

  • Không gian này chỉ chứa vector không \mathbf{0} .
  • Cả phép cộng và phép nhân vô hướng đều là tầm thường (luôn cho kết quả là vector \mathbf{0} ).
  • Một cơ sở của không gian này là tập hợp rỗng, do đó không gian {0} có số chiều \dim = 0 .

💡 Mọi không gian vector trên F đều chứa một không gian con đồng cấu với không gian này.

2. Trường

Một ví dụ đơn giản tiếp theo là chính trường F .

📌 Trong trường hợp này:

  • Phép cộng: Là phép cộng thông thường trên trường số.
  • Phép nhân vô hướng: Là phép nhân thông thường trong trường.
  • Bất kỳ một phần tử khác 0 của F đều tạo nên một cơ sở của F .
  • Do đó, F chính là một không gian vector có số chiều \dim F = 1 trên chính nó.

💡 Trường là một không gian vector rất đặc biệt, thực tế là ví dụ đơn giản nhất về đại số giao hoán trên F .

✅ Trường F chỉ có hai không gian con:

  1. Không gian tầm thường {0}
  2. Chính nó

3. Không gian tọa độ

Đây là ví dụ quan trọng nhất về không gian vector.

💡 Với mỗi số nguyên dương n , không gian của tất cả các bộ n -phần tử của F tạo nên một không gian vector n chiều trên F , thường được gọi là không gian tọa độ và ký hiệu là F^n .

✅ Mỗi phần tử của F^n được viết dưới dạng:
\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n), với x_i \in F .

✅ Các phép toán trên F^n được định nghĩa bởi:
\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n)
\alpha \mathbf{x} = (\alpha x_1, \alpha x_2, \dots, \alpha x_n)
\mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0)
-\mathbf{x} = (-x_1, -x_2, \dots, -x_n)
(Các phép toán ở vế phải là các phép toán trong F .)

📌 Trường hợp phổ biến nhất:

  • Nếu F là trường số thực \mathbb{R} , ta có không gian tọa độ \mathbb{R}^n .
  • Nếu F là trường số phức \mathbb{C} , ta có không gian tọa độ \mathbb{C}^n .

✅ Cơ sở chuẩn tắc của không gian vector F^n bao gồm các vector:
\mathbf{e}_1 = (1, 0, \dots, 0)
\mathbf{e}_2 = (0, 1, \dots, 0)
\vdots
\mathbf{e}_n = (0, 0, \dots, 1)
(Trong đó, 1 là phần tử đơn vị của phép nhân trong F .)

Discover more from Science Comics

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Related Posts

Leave a Reply

error: Content is protected !!