Các Tính Chất Quan Trọng Của Ma Trận và cách nhớ

1. Các tính chất cơ bản của ma trận

• Tính chất giao hoán của phép cộng:
  
• Tính chất kết hợp của phép cộng:
  
• Phần tử trung hòa của phép cộng:
  
  (Trong đó là ma trận không.)
• Phần tử đối của phép cộng:
  

📝 Nhận xét: Các tính chất trên rất giống với tính chất của số thực, bao gồm tính giao hoán, tính kết hợp và sự tồn tại của phần tử trung hòa.

2. Các tính chất của phép nhân ma trận

• Tính chất phân phối:
  
• Tính chất kết hợp:
  
• Không có tính giao hoán:
  latex_(trừ một số trường hợp đặc biệt)_
• Ma trận đơn vị $latexI$:
  

📝 Nhận xét: Các tính chất này tương tự với phép nhân số thực, ngoại trừ phép nhân ma trận không có tính giao hoán.

3. Tính chất ma trận chuyển vị ( )

• Chuyển vị của tổng:
  
• Chuyển vị của tích:
  
• Chuyển vị kép:
  
• Chuyển vị và ma trận đối xứng:
  Nếu , thì là ma trận đối xứng.

4. Các loại ma trận đặc biệt

• Ma trận vuông: Có số hàng bằng số cột.
• Ma trận tam giác:
• Tam giác trên: Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0.
• Tam giác dưới: Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0.
• Ma trận đơn vị ( $latexI$): Đường chéo chính toàn số 1, các phần tử khác bằng 0.
• Ma trận trực giao ( $latexQ$):
  
• Ma trận nghịch đảo ( $latexA^{-1}$):
  

5. Định thức và hạng của ma trận

• Tích của định thức:
  
• Định thức của chuyển vị:
  
• Ma trận suy biến: Nếu
  latex
  thì không khả nghịch.
• Hạng của ma trận: Số hàng hoặc cột độc lập tuyến tính của ma trận.

6. Giá trị riêng và vectơ riêng

• Ma trận và ma trận chuyển vị có cùng giá trị riêng.
• Tích của các giá trị riêng bằng .
• Tổng các giá trị riêng bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính.